Question

函数f(x)=ax^3+bx+c在x=2处取得极值c-16

求a,b;若函数f(x)有极大值28，求f(x)在[-3,3]上最小值。

Answer 1

函数f(x)=ax³+bx+c在x=2处取得极值c-16，(1)求a，b；(2)若函数f(x)有极大值28，求f(x)在[-3,3]上最小值。
解：(1)f′(x)=3ax²+b，因为f(x)在x=2处取得极值c-16，故有f′(2)=12a+b=0，即有b=-12a.
f(2)=8a+2b+c=8a-24a+c=-16a+c=c-16，-16a=-16，故a=1；b=-12；
(2).f(x)=x³-12x+c=0；令f′(x)=3x²-12=0，x²=4，故得驻点x₁=-2，x₂=2；x₁是极大点，x₂是极
小点；maxf(x)=f(-2)=-8+24+c=16+c=28，故c=12；此时f(x)=x³-12x+12；
f′(x)=3x²-12=3(x²-4)=3(x+2)(x-2)，当-∞<x≦-2或2≦x<+∞时f′(x)≧0，即f(x)在此二区间内单调增；
当-2≦x≦2时，f′(x)≦0，即f(x)在此区间内单调减。故f(x)在[-3，3]上的极小值=f(2)=8-24+12=-4
这个极小值也是f(x)在[-3，3]上的最小值。

Answer 2

1,f'(x)=3ax^2+b。
f(2)=8a+2b+c=c-16、4a+b=-8
f'(2)=12a+b=0
解得：a=-1、b=12
2,f(x)=-x^3+12x+c，f'(x)=-3x^2+12=-3(x+2)(x-2)。
f(x)在x=2处取得极大值f(2)=-8+24+c=16+c=28、c=12。
f(x)=-x^3+12x+12。
f(-3)=3、f(-2)=-4、f(2)=32、f(3)=21。
f(x)在[-3,3]上最小值是f(-2)=-4。

Answer 3

(1)f'(x)=3ax^2+b所以得12a+b=0 8a+2b+c=c-16
列方程组 解得 a=1 b=-12
（2）由1得f'(x)=3x^2-12
所以f'(x)=0时 X1=2 X2=-2 当x=-2时有极大值
所以 f(-2)=-8+24+c=28 c=12
因为在（-∝，-2 ）,（2，+∝）单调递增 在（-2,2）单调递减
所以当x=2时f=-4 当x=-3时f=21 所以f(x)在[-3,3]上最小值为-4

Answer 4

f'(x)=3ax²＋b，则：
f'(2)=0，即：
12a＋b=0 -------------------------(1)
又：点(2，c－16)在f(x)图像上，得：
8a＋2b＋c=c－16，即：
4a＋b=－8 -----------------------(2)
由(1)、(2)，得：
a=－1，b=12

此时，f'(x)=－3x²＋12=－3(x－2)(x＋2)
则f(x)的极大值是f(2)=－8＋24＋c=28，得：c=12
则：
f(x)=－x³＋12x＋12
因f(x)在[－3，－2]上的递减，在[－2，2]上的递增，在[2，3]上的递减，则：
f(－3)=3，f(－2)=－4，f(2)=28，f(3)=21
函数在区间上的最大值是f(2)=28，最小值是f(－2)=－4

Answer 5

解：f’(x)=3ax^2+b f’(2)=3a*2^2+b=12a+b=0联立f(2)=8a+2b+c=c-16 得a=1,b=-12
f(x)=x^3-12x+c f’(x)=3x^2-12=0 x=+-2
当x=-2时，f(-2)=(-2)^3-12(-2)+c=28 c=-4
最小值=f(2)=2^3-12*2-4=-20