Question

已知函数fx=1/3x*3+x*2-(2a+b-2)x无极值点，其中a，b大于等于0，则（b+1）/(a+1)的最大值为

Answer 1

f(x)=1/3*x^3+x^2-(2a+b-2)x
f'(x)=x^2+2x-(2a+b-2)
f(x)无极值点，则f(x)在定义域上单调
所以f'(x)=0无实数解，或有两个相同的实数根
则：△=4+4(2a+b-2)≤0
即2a+b-1≤0
那么2(a+1)+(b+1)≤4
因为a≥0，所以a+1≥1
所以2+(b+1)/(a+1)≤4/(a+1)
而由a+1≥1得出4/(a+1)≤4
所以2+(b+1)/(a+1)≤4/(a+1)≤4
则(b+1)/(a+1)≤2
即(b+1)/(a+1)的最大值为2，此时a=0，b=1

Answer 2

你好
fx=1/3x*3+x*2-(2a+b-2)x 所以f(x)'=x^2+2x-(2a+b-2),因为f(x)无极值点，所以x^2+2x-(2a+b-2)=0无解 所以△=4+4(2a+b-2)<=0 所以 2a+b<=1 a>=0 b>=0 将a，b分别看成x轴，y轴，建立坐标系。
则（b+1）/(a+1)可以看成（a，b）与（-1，-1）两点连线的斜率，图没办法画，就不画了，提问者自己画吧，谢谢了。
所以由图知，2/3<=（b+1）/(a+1)<=2,当a=0，b=1时（b+1）/(a+1)取得最大值为2.
希望能帮到你。