Question

已知数列{an}中a1=1，a2=3，an=3an-1_-2an-2。求数列an的通项公式

Answer 1

这道题不难，不必用数学归纳法做，下面给出几种算法。
an=3an-1+2an-2 可以做以下变形①(an-an-1)=2(an-1-an-2)②(an-2an-1)=an-1-2an-2
(辅助思考：用特征方程法，该递推关系式的特征方程为X^2-3X+2=0,解得X等于1或2^
数列｛an-an-1｝是以2为公比，2为首项的等比方程，则an-an-1=2*2^n-1=2^n（n≥2）
叠加法，以上各式叠加可得an-a1=(2^n+2^n-1……+2^2）=2^n-2
即an=2^n-1,将n=1带入得，a1=1,成立。所以……
②略

Answer 2

an=3an-1_-2an-2
∴a(n)-a(n-1)=2[a(n-1)-a(n-2)]
设a(n-1)-a(n-2)=b(n-1)，则b(n)=2b(n-1)
∴{b(n)}是等比数列，公比是2，首项b1=a2-a1=2
∴b(n)=2×2^n-1=2^n
∴a(n)-a(n-1)=2^n
∴a(n)=(a(n)-a(n-1))+(a(n-1)-a(n-2))+……+(a2-a1)+a1
=2^n+2^n-1+……+2+1
=(2^n)-1

Answer 3

a3=3*3-2*1=7=2^3-1
a4=3*7-2*3=15=2^4-1
a4=3*15-2*7=31=2^5-1
......
an=2^n-1