Question

基本初等函数的导数公式的推导过程

Answer 1

1、常数 f '(x)=(C)'=lim[h-->0] (f(x+h)-f(x))/h=lim[h-->0] (C-C)/h=0
2、三角函数
(sinx)'=lim[h-->0] (sin(x+h)-sinh)/h=lim[h-->0] 2cos(x+h/2)sin(h/2)/h=cosx
用到了和差化积、第一个重要极限
cosx与sinx完全类似
(tanx)'=(sinx/cosx)'=(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x=sec²x
cotx与tanx完全类似

3、对数函数
先证一个结论lim[h-->0] ln(1+h)/h=lim[h-->0] ln(1+h)^(1/h)=1
用到了第二个重要极限
因此ln(1+h)与h等价，等价无穷小可替换
(lnx)'=lim[h-->0] (ln(x+h)-lnx)/h=lim[h-->0] 1/h*ln((x+h)/x)=lim[h-->0] 1/h*ln(1+h/x)
=lim[h-->0] (1/h)*(h/x)=1/x