Question

在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E在DA的延长线上,AE=AD,点F在AD的延长线上,DF=AD,CE交AB于点G，BF交CD于点M

CE与BF交于点H，求证：四边形GBCM是菱形

Answer 1

证明：因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD=BC，AB=DC，AD//BC，
因为 AE=AD，AD=BC，
所以 AE=BC，
因为 AD//BC，
所以 角MDF=角MCB，角F=角MBC，
所以 三角形MDF全等于三角形MCB，
所以 NC=MD，DC=2MC，
因为 AB=2BC，AB=DC，
所以 MC=BC，
同理： GB=BC，
所以 MC=GB，
又因为 AB//DC，
所以 四边形GBCM是平行四边形，
又因为 GB=BC，
所以 平行四边形GBCM是菱形。

Answer 2

∵AD=BC,AD=AE,∴AE=BC,
∵EF∥BC,∴在△AGE和△BGC中，∠AGE=∠BGC,∠GAE=∠GBC,∠AEG=∠BCG,
∴△AGE≌△BGC，∴AG=BG,∵AB=2BC,∴BG=BC,
同理可证DM=CM，MC=BC，
∵G是AB的中点，M是DC的中点，∴GM平行且等于BC，∴BCMG是四边相等的平行四边形就是菱形