Question

已知数列{an}的首项a1=1,前n项和满足Sn=[(n+2)/3]an,求{an}

Answer 1

当n >= 2时，依题意有
Sn-1=[(n+1)/3]an-1 （2）
又Sn=[(n+2)/3]an （1）
（1）-（2）得
a(n) = (1/3)(a(n) - a(n-1))
即a(n) = (-1/2)a(n-1)
当n = 2 时 s2 = a1 + a2 = (4/3)a2
解得a2 = 3
所以当n >=2 时，{an}是以a2 = 3为首项，等比为(-1/2)的等比数列
an = 3(-1/2)^n (n >= 2)
当n = 1时,an = 1

追问

（1）-（2）得
a(n) = (1/3)(a(n) - a(n-1))
即a(n) = (-1/2)a(n-1)
请问这是怎么算的，我算的（1）-（2）结果是a(n)=[(n+1)/(n-1)]a(n-1)

追答

[(n+2)/3] - [(n + 1) /3] = 1/3

追问

a(n)与a(n-1)并非同类项，如何相加减？

追答

对不起，是我晕了，差点就误导你了
这样吧，a(n)=[(n+1)/(n-1)]a(n-1)
a(n)/a(n-1) = =[(n+1)/(n-1)]
再利用累乘法
a(2)/a(1) = 3/1
a(3)/a(2)= 4/2
a(4)/a(3)=5/4
a(5)/a(4)=6/3
a(6)/a(5)=7/4
...
a(n-2)/a(n-1)=(n-1)/(n-3)
a(n-1)/a(n-2)=(n)/(n-2)
a(n)/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
以上各式相乘得到，规律是每隔两项即（n+1）-(n-1)=2分子与分母相消
a(n)/a(1) = n(n+1)/2
故a(n) = n(n+1)/2(n>=2))
当n = 1时an = 1满足上式
所以所求an = n(n+1)/2(n属于正整数)

Answer 2

楼主在不，最后结果应该是an=n(n+1)/2，在的话细说