Question

如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=90°，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，

如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=90°，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；
（2）如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明
过程详细

Answer 1

证明：
(1)
若P与M不重合
连结CM，则∠FCM=∠B=∠BPF=45°
由题中信息不难知道PF=FB=EC，CM=MB
∴△ECM≌△FBM
∴ME=MF
由上述证明又可知：∠FMB=∠CME，而∠CMF+∠FMB=90°
∴∠EMF=∠CME+∠CMF=90°
即ME⊥MF
（2）显然结论仍成立，证明过程类似：
连结MC，可证得△EMC≌△FBM
其它同上.