Question

已知函数f(x)=ax-(2a-1)lnx+b 1.若f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求实数a,b的值 2.当a>1/2时，求f(x)

3.当a=1时，f(x)在区间(1/e,e)上恰有一个零点，求实数b的取值范围

Answer 1

1.由题可知①f(1)=1,②f‘(x)=1;
则有a+b=1, a-(2a-1)=1 所以a=0,b=1
2.是不是求f（x）的取值范围？
3.当a=1时，f(x)=x-lnx+b,
则f'(x)=1-1/x,
在区间（1/e,1)内，f'(x)<0,函数f(x)递减，
在区间(1,e)内，f'(x)>0,函数f(x)递增；
又因为f(x)在区间(1/e,e)上恰有一个零点，则f(1)=0,有f(1)=1+b=0 所以b=-1.

追问

2.当a>1/2时，求f(x)的单调性

追答

2.f'(x)=a-（2a-1）/x，x的取值范围为(0,+∞），
令f‘(x)>0,即a-(2a-1)/x>0,得x>2-1/a
令f‘(x)1/2时，f(x)在（0，2-1/a）内递减，在[2-1/a，+∞）内递增。