Question

如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=

如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).
试探究线段EF与EG的数量关系.

(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
(3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是

（3）问需证明

Answer 1

（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=1 2 AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=1 2 AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（2）解：EF=1 n EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴EM CD =AE AC =1 n+1 ，
即EM=1 n+1 CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴EN AD =CE AC =n n+1∴EN=n n+1 AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=CD AD =BC AC =1，
∴EM EN =1×1 n =1 n ，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴EF EG =EM EN =1 n ，
即EF=1 n EG；

（3）EF=1 mn EG．拷贝的答案少了些公式符号

Answer 2

图甲：连接DE，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=AB，
∵AE=EC，
∴DE=AE=EC=AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（1）EF=EG；

（2）解：EF=EG．
证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
即EM=CD，
同理可得，EN=AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=，
∴=，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴，
即EF=EG；

（3）EF=EG

追问

请求第三问的详细过程