Question

等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=12,AD=4,∠B=60°,点P是腰AB上的一个动点.

（1）求BC的长．
（2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长；
（3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由；

Answer 1

解：1、连接AM，则△ABM为等边三角形，∠AMB=∠ABM=∠DCB

       ∴AM∥DC，四边形AMCD为平行四边形，即AD=MC

       ∴BC=12+4=16

2、做PE⊥BM，作AF⊥BM，在RT△ABF中，AF=12*√3/2=6√3

   梯形ABCD的面积为：1/2（4+16）*6√3=60√3

   ∴三角形BPE的面积为  60√3的一半，即30√3

    则RT△PBE的面积为1/2*BM*PE=30√3

   所以，PE=5√3

   在RT△PBE中，PB=5√3÷（√3/2）=10

3、假设存在点P，设PB=x，BM=y，可得

   RT△PBE的面积为1/2*BM*PE=30√3

   即1/2*y*√3/2x=30√3  ①

   x+y=1/2（12+4+12+16） ②

解方程组得：x1=10，y1=12或 x2=12,y2=10.

经检验，两组解都满足题意。

因此，存在PM两点，且PB的值有两个，分别是10或12。

证毕