Question

数列求和！！！！！ 求助！！！！

求助

Answer 1

第一个和
k*k!=(k+1-1)k!=(k+1)k!-k！
∑k*k!
=∑[(k+1)!-k!]
=2！-1！+3！-2！+4！-3！+........+（n+1)！-n!
=(n+1)!-1
第二个和
(k-1)/k!=k/k!-1/k!=1/(k-1)!-1/k!
∑(k-1)/k!
=∑[1/(k-1)!-1/k!]
=(1-1)+(1-1/2!)+(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+.......[1/(n-1)!-1/n!]
=1-1/n!.
第三个和 （为了不混淆记2^k=q^k
记Sn=1q+2q^2+3q^3.............+nq^n
qSn= 1q^2+2q^3.+........(n-1)q^n+nq^(n+1)
(1-q)Sn=q+q^2+q^3+...............+q^n-nq^(n+1)
(1-q)Sn=q(1-q^n)/(1-q)-nq^(n+1)
Sn=q(1-q^n)/(1-q)-nq^(n+1)/(1-q)
或Sn=q(q^n-1)/(q-1)+nq^(n+1)/(q-1)
令q=2,代入上式即得。
第四个和
原式=3!∑k(k-1)(k-2)/3!
=3!∑C(k,3)=3!C(n+1,3+1)
=(n-2)(n-1)n(n+1)/4
附注：第四个和使用了组合数学中的一个（朱世杰）恒等式，如果有疑问，请Hi