Question

已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM‖AC,E是边CA

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E'DC ，射线DE'交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为6根号3 ，求AE的长．

Answer 1

：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得
BF
BD
=
BD
BG
，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵

∠DBF=∠DAE
∠BFD=∠DEA
BD=AD

，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF=AE=x，
∴
x
4
=
4
BG
，
∴BG=
16
x
，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
根据勾股定理得：BC=
AB2-AC2
=4
3
，
∵点D到直线BM的距离d=
1
2
BC=2
3
，
∴S△DFG=
1
2
FG•d=
1
2
（BG-BF）•d，即y=
1
2
×（
16
x
-x）×2
3
=
16
3

x
-
3
x（0＜x＜4）；

（3）（i）当点G在点F的右侧时，
由题意，得6
3
=
16
3

x
-
3
x，
整理，得x2+6x-16=0，
解得x1=2，x2=-8（不合题意，舍去）；
（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：

同理得到S△DFG=
1
2
FG•d=
1
2
（BF-BG）•d，即y=
3
x-
16
3

x
（x＞4），
由题意，得6
3
=
3
x-
16
3

x
，
整理，得x2-6x-16=0，
解得x3=8，x4=-2（不合题意，舍去），
综上所述，AE的值为2或8．

Answer 2

数学不好伤不起啊……

Answer 3

(1)∵CD是AB上的中线。∴AD=BD。∵BM//EC∴∠E=∠BFE.在△ADE与△FDB中，∠E=∠BFE,∠ADE=∠FDB,AD=BD.∴△ADE≌△FDB（AAS）.∴BF=AE∵CD⊥EF∴∠CDE=90°。∵BC⊥EC。∴∠BCE=90°又∵∠BAC=60°∴∠ABC=30°∴AC=1/2AB=AD.∴△ACD是等腰三角形。∴∠DCA=60°，AC=CD=4.∴∠CED=30°。∴EC=2CD=2×4=8.∴AE=EC-AC=8-4=4.∴BF=4
很幸苦的，还要想，要写，要打字！

Answer 4

其实我也不会做，正在问呢=。=// 。。。。。。。