Question

若x≥1,y≥1,且(logx)^2+(logy)^2=log(10x^2)+log(10y^2),问log(xy)最大值为何?

Answer 1

令 a = log x
b = log y 则原题相当于: a
b 非负
且 a^2 + b^2 = (log 10 + 2a) + (log 10 + 2b) 求 a + b 之最大值. 如果 log 是以 10 为底
则 log 10 = 1. 此处就以 k 代表常数 log 10. 上面的条件式等于 (a-1)^2 + (b-1)^2 = 2+2k 也就是说
是在 a-b 平面上
以 (1
1) 为圆心
以 √(2+2k) 为半径的一个圆. a + b = c 是在 a-b 平面上的一条直线. 此直线与上面以 (1
1) 为圆心的圆相交
问 c 的最大值. 那就是 a + b = c 与圆在 右上角相切时
此时 a = 1+t = b
t = √(1+k). 所以
max. log(xy) = max. a+b = 2+2√(1+log 10)