Question

已知函数f(x)=alnx+1/x(a>0) (1)求函数f(x)的单调区间和极值

（2）是否存在实数a，使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0？存在求出a值，不存在说明理由

Answer 1

(1)f'(x)=a/x-1/x^2 所以f'(x)>0时得x>1/a f'(x)>0时得x<1/a
又因为题目隐含条件 x>0 所以单点增 （1/a +∝） 单调减（0,1/a)
当x=1/a 有极值 f(1/a)=aln1/a+a(a>0)
（2）由题意得 当1<1/a<e 时 aln1/a+a=0 a=e 范围不符舍去
当1/a<1时 f（1）=0 无解
当1/a>e时 f（e）=0 a=-1/e舍去
所以不存在a使函数f(x)在[1,e]上的最小值为0