Question

已知数列｛an｝满足an+1=（（n+2）an²-nan+n+1）/an²+1，sn是数列｛an｝的前n项和

（1）若a1=1，求a2、a3、a4并推证数列｛an｝的通项公式；
（1）若a1属于【1/2,3/2]，求证sn- n（n+1）/2的绝对值＜1

Answer 1

（1）
因为：
a(n+1)-an=3*2^(2n-1)
所以：
an-a(n-1)=3*2^(2n-3)
...
a3-a2=3*2^3
a2-a1=3*2^1
上述各项相加：
an-a1=3[2^1+2^3+2^5+2^7+...+2^(2n-3)]
=3*2*[2^(2n-2)-1]/(2^2-1)
=2^(2n-1)-2
因此：
an=2^(2n-1)
（2）
bn=n*2^(2n-1)
Bn = 1* 2^1 + 2*2^3 + 3* 2^5 +........+ n*2^(2n-1)
4Bn = 1* 2^3 + 2*2^5 +.........+(n-1)2^(2n-1) + n*2^(2n+1)
上述两式相减：
-3Bn = 1* 2^1 +(2^3+2^5.......+(2n-1)) - n*2^(2n+1)
Bn = n*2^(2n+1)/3 - 2^(2n+1)/9 + 2/9