Question

设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.

2012年全国卷理科数学第20题。

Answer 1

（1）f'(x)=a-sinx,x∈[0.π]
sinx∈[0,π];当a<=0时，f'(x)<=0恒成立，f(x)单调递减；
当a>=1 时，f'(x)>=0恒成立，f(x)单调递增；
当0<a<1时，当x∈[0,arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina,π]时，单调递减；

（2）即ax<=1-√2sin（x-π/4）
当x=0时不等式恒成立；
当x∈(0,π]时，a<={1--[√2sin（x-π/4）]}/x
令y=上面不等式右边，a要小于其最小值；解得a<=0

Answer 2

f'(x)=a-sinx
若a≥1,则函数单增
若a≤0,则函数单减
若0<a<1则'(x)=a-sinx=0
x=arcsina
则x∈[arcsina,π-arcsina]函数单减
其他函数单增

f(x)≤1+sinx
ax+cosx≤1+sinx
ax≤(1+sinx-cosx)=1+√2sin(x-π/4)
x=0时，a可以为任何值
x≠0时
a≤[1+√2sin(x-π/4)]/x
这个难道用大学的导数来求？

追问

应该不用吧，毕竟是高考。同样感谢你！

追答

现在的高考题目太变态了。

追问

请问您是大学生？

追答

早毕业好多年了。

追问

哦，不是以前的高考难吗，这题目算得上变态？

追答

以前高考题目，压轴题目基本在数列、解析几何和函数上
数列最难，解析几何只要方法对，就是运算量特别的大，如果不熟悉，很容易算晕的。
函数上面一般会用能够和均值不等式结合的线性函数。

现在的高考加入了y=lnx和导数，使题目更复杂化，特别是把y=lnx与线性函数结合后，题目很不容易处理。这个题目是把线性函数的三角形函数放一起处理，又没有不等式公式或其他公式可用，除非是一个比较宽的范围。

有些数列的题目，已经很难了，大学教授多数做不出来的那种，如果遇到数列，建议放弃。

Answer 3

(II)ax+cosx<=1+sinx => ax+1<=sinx-cosx =sqrt(2)sin(x-pi/4)
画图，容易看出，两交点为（0，-1）和（pi，1）=> a<=2/pi.