Question

一道数学题目，关于向量和三角函数

已知向量a=（sin（wx+φ），2），b=（1，cos（wx+φ））（w＞0,0＜φ＜π/4），函数f（x）=（a+b）·（a-b）【a，b均为向量】，y=f（x）的图像的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M（1，7/2）
1.求函数f（x）
2.若α∈（5π/6,4π/3），f（2α/π）=10/3，求sin（2α+4π/3）的值
3.求f（0）+f（1）+f（3）+……+f（2011）的值

Answer 1

a+b=sin(ωx+φ)+1
a-b=2-cos(ωx+φ)
f(x)=sin^2(ωx+φ)-1+4-cos^2(ωx+φ)=3-cos2(ωx+φ)
T/2=2
T=4
2π/2ω=T
ω=π/4
f(x)=3-cos(π/2x+2φ)
M(1,7/2)
f(1)=3-cos(π/2+2φ)=7/2
φ=1/12π
f(x)=3-cos(π/2x+π/6)

应该是这样，剩下的自己可以算了吧 :）

Answer 2

f(x)=(a＋b)*(a－b)=|a|²－|b|²=[sin²(wx＋φ)＋4]－[1＋cos²(wx＋φ)]=3－[cos²(wx＋φ)－sin²(wx＋φ)]=3－cos(2wx＋2φ)
由于f(x)相邻两对称轴之间的距离是2，则T/2=2即：T=4
T=2π/|2w|=4，得：w=π/4
则：f(x)=3－cos[(π/2)x＋φ]，因f(x)过点(1，7/2)，则：
3－cos[(π/2)＋φ]=7/2
cos(π/2＋φ)=－1/2
－sinφ=－1/2
sinφ=1/2
φ=π/6
则：
f(x)=3－cos[(π/2)x＋π/6]

f(2a/π)=3－cos(a＋π/6)=10/3，得：cos(a＋π/6)=－1/3，因为a∈(5π/6，4π/3)，则：
a＋π/6∈(π，3π/2)，则sin(a＋π/6)=－2√2/3
sin(2a＋4π/3)=－sin(2a＋π/3)=－2sin(a＋π/6)cos(a＋π/6)=－4√2/9

函数f(x)的周期是T=4，f(0)=3－cos(π/6)，f(1)=3－cos(π/2＋π/6)，f(3)=3－cos(3π/2＋π/6)，f(5)=3－cos(5π/2＋π/6)=f(1)，……，得：
f(1)=f(5)=f(9)=f(13)=……=－1/2
f(3)=f(7)=f(11)=f(15)=…=1/2
则：S=f(0)=√3/2

Answer 3

解：(1)由y=f（x）的图像的相邻两对称轴之间的距离为2，知：T=4。
0＜φ＜π/4），且过点M（1，7/2）。
f(x)=sin^2(wx+φ）-cos^2（wx+φ）+3=- cos2*（wx+φ) +3 = - cos(π/2 *x+π/6)+3.
（2） 2α+π/3∈（2π,3π）
cos（2α+π/3）=2*cos)^2（α+π/6 ）-1= -7/9.
sin（2α+4π/3）= - sin（2α+π/3）=- (4/3) *2^(1/2).
(3)
有规律可循，写出几项就可找出。

Answer 4

解：1.f（x）=（a+b）·（a-b）=a^2-b^2=sin（wx+φ）^2+4-cos（wx+φ）^2-1=3-cos（2wx+2φ)
T/2=2,2π/(2w)=4,w=π/4 -1/2=cos（π/2+2φ),φ=φ/12
f（x）=3-cos（π/2x+π/6)
2.cos（π/2*(2α/π)+π/6)=-1/3,sin（2α+4π/3)=-sin（2α+π/3)=-2sin（α+π/6)cos（α+π/6)
π<α+π/6<（π3）/2，sin（α+π/6)=-（1-1/9）^1/2=-(2*2^(1/2)）/3
sin（2α+4π/3）=-（4*2^(1/2)）/9
3. f（i）+f（i+1）+f（i+3 ）+f（i+4 ）=0，2012/4=503，
f（0）+f（1）+f（3）+……+f（2011）=503×3=1509