已知抛物线y=-(x^2)+bx+c与x轴交于A、B,与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为M 对称轴是直线x=1,
2.S、T都在对称轴上，且ST=1，S在T上方，试求四边形STDC的最小值。
是求四边形STDC周长最小值
3.在抛物线上求点P，使以点P为圆心，以4为半径的圆P与直线CD相切。
4.记△ABC的外接圆为圆Q,在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆P与直线CD、圆Q都相切? 展开
1. 与y轴交于点C(0,3), c = 3; 对称轴是直线x=1, -b/[2(-1)] = 1, b = 2
抛物线: y = -x² + 2x + 3 = -(x-3)(x+1)
A(-1, 0), B(3, 0)
设H(h, -h² + 2h + 3), G(0, g)
BG² = GH²
9+g² = h² + (h² - 2h - 3 +g)² (1)
BG的斜率k = (g - 0)/(0 - 3) = -g/3
GH的斜率l = (g + h² -2h -3)/(0-h) = -(h² - 2h - 3 +g)/h
BG与GH垂直, kl = -1
h² - 2h - 3 +g = -3h/g (2)
(2)代入(1): 9+g² = h² + (-3h/g)² = h²(9+g²)/g²
h² = g²
h = ±g
(i) h = g
代入(2): h² - h = 0
h = 0, H(0, 3), G(0, 3), 舍去
h = 1, g = 1
H(1, 4)
(ii) h = -g
代入(2): h² - 3h - 6 = 0
h = (3±√33)/2
H((3+√33)/2, -2 - 2√33/9)
或H((3-√33)/2, -2 +2√33/9)
另外还应当考虑BH与BG垂直, 但似乎做起来太麻烦。
(2)题中未说清楚，假定为面积最小
M(1, 4)
MC的方程: (y-3)/(x-0) = (4-3)/(1-0)
x - y + 3 = 0
D(-3, 0)
四边形STDC由三角形SDT和三角形CDS组成
三角形SDT的底ST为1, 高为D与对称轴的距离(=4), 面积一定.
三角形CDS的底CD为定值, 高为S与CD的距离. 当S与M重合时, 高为0, 此时四边形STDC的面积最小(实际为三角形SDT)
如为周长，因为CD和ST均为定值，只需SC和DT之和最小即可。
CD=√(3²+3²) = 3√2
ST = 1
设T(1, t), S(1, t+1)
SC = √[(1-0)² + (t+1-2)²] = √[1 + (t-2)²]
CT = √[(1+3)² + (t-0)²] = √(16 + t²)
w = SC + DT = √[1 + (t-2)²] + √(16 + t²)
求导（不知是否有更简单的办法): w' = (t-2)/√[1 + (t-2)²] + t/√(16 + t²) = 0
(t-2)/√[1 + (t-2)²] = -t/√(16 + t²)
两边平方： (t-2)²/[1 + (t-2)²] = t²/(16 + t²)
(t-2)² = t²/16
t-2 = ±t/4
t1 = 8/3, w = (√13 + √208)/3≈6.009
t2 = 8/5, w = (√29 +√464)/5 ≈ 5.385
因平方可能引起增根，验算可知t= 8/5时，w最小(5.385; t=8/3时，w = 6.009)
最小周长=CD+ST+w = 3√2 + 1 + (√29 +√464)/5
3. P(p, -p²+2p+3)
P与CD的距离为圆半径4
|p -(-p²+2p+3)+3|/√2 = 4
|p²-p|/√2 = 4
p²-p +4√2 = 0 (此方程无解)
p²-p -4√2 = 0
p = [1±√(1+16√2)]/2
P([1+√(1+16√2)]/2, 0.275)
或P(([1-√(1+16√2)]/2, -4.585) （可以自己表达为根号的形式）
(4)显然Q在AB的中垂线即抛物线的对称轴上，即Q的横坐标为1.
又Q在AC的中垂线上（斜率-1/3，过(-1/2, 3/2)), 其方程为y = (4 - x)/3
Q(1, 1)
圆Q的半径R=√5
要使P圆Q和CD均相切 有两种情形：
(1)外切
P(1, p)与CD的距离为其半径r = |1-p+3|/√2 = |p - 4|/√2
PQ = r+R
PQ= |p-1|
|p - 4|/√2 +√5 = |p-1|
(i) p ≥ 4
去掉绝对值号，p = (√10-√2-4)/(√2-1) < 0, 舍去
(ii) 1 ≤ p < 4
去掉绝对值号，p = (√10+√2+4)/(√2+1), 不与前提冲突。
(iii) p < 1
去掉绝对值号，p = (-√10+√2-4)/(√2-1), 不与前提冲突。
(2)内切
和外切类似地做。p ≥ 4时，解与外切的1 ≤ p < 4情形相同。
p < 1时，解为p = (-√10+√2-4)/(√2-1), 不与前提冲突。
真是累死了。
部分答案可见插图，没时间全画了。
