Question

已知数列an的前n项和为Sn，数列根号Sn+1是公比为2的等比数列

1、证明：若a1=3则数列an为等比数列
2、证明：若数列an为等比数列则a1=3

Answer 1

证：
(1)根号Sn+1=(a1+1)*2^(n-1)=4*2^(n-1)=2^(n+1)
Sn+1=2^(2n+2)=4^(n+1).............1
Sn=4^n .............2
1式-2式 Sn+1-Sn=4^(n+1)-4^n
an+1=3*4^n
an=3*4^(n-1)
an+1 / an = 4
所以an 为首项为3公比为4的等比数列
(2) 根号(Sn+1)=根号(a1+1)*2^(n-1)
Sn+1=(a1+1)*4^(n-1)...............1
Sn=(a1+1)*4^(n) ................2
1式-2式 Sn+1-Sn=3(a1+1)/4*4^(n-1)
an=3(a1+1)/4*4^(n-1)
当且仅当3(a1+1)/4=a1时，an成GP
3(a1+1)/4=a1
a1=3
所以若数列an为等比数列则a1=3