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典型的错位相减法
Sn =1*2+2*4+3*8+4*16+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
2Sn= 1*4+2*8+3*16+...+(n-2)*2^(n-1)+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
上式减下式得
-Sn=1*2+1*4+1*8+1*16+...+1*2^(n-1) +1*2^n -n*2^(n+1)
=[2+4+8+16+....2^(n-1)+2^n]-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
=2*(2^n-1)-n*2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
所以
Sn=(n-1)*2^(n+1)+2
Sn =1*2+2*4+3*8+4*16+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
2Sn= 1*4+2*8+3*16+...+(n-2)*2^(n-1)+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
上式减下式得
-Sn=1*2+1*4+1*8+1*16+...+1*2^(n-1) +1*2^n -n*2^(n+1)
=[2+4+8+16+....2^(n-1)+2^n]-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
=2*(2^n-1)-n*2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
所以
Sn=(n-1)*2^(n+1)+2
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