Question

用数学归纳法求证：(3n+1)/(4n+4)+1/2ln(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+....1/n

已知函数f(x)=x²+ln(x-a) a属于R
(1)若f(x)有两个不同的极值点,求a的取值范围 (2)a≤-2时,求函数f(x)在[-1,0]上的最大值
前两问我会做，这是第三问。
1)定义域为x>a
f'(x)=2x+1/(x-a)=1/(x-a)*[ 2x^2-2ax+1]
g(x)=2x^2-2ax+1=0 需有两个大于a的根,要满足以下条件：
delta=4a^2-8>0, 得：a>√2 or a<-√2
对称轴x=a/2>a, 得：a<0
g(a)=2a^2-2a^2+1=1>0
综合得：a<-√2.
2)a<=-2时，极值点为 x1, x2, x1<x2
x1=[a-√(a^2-2)]/2<=-1， 不在区间[-1,0]上
, f(x1)为极大值， f(x2)为极小值
f(-1)=1+ln(-1-a)
f(0)=0+ln(-a)=ln-a
a<=-2, 有f(-1)-f(0)=1+ln(-1-a)-ln(-a)=1+ln[-1/(-a)+1)]>1+ln(1/e)>0
f(-1)>f(0)
所以最大值为f(-1)=1+ln(-1-a)

Answer 1

证明：
（1）当n=1时
左边=4/8+1/2ln2；右边=1。因为ln2<1,所以1/2ln2<1/2故得4/8+1/2ln2<1,显然成立
（2）令n=k时有：(3k+1)/(4k+4)+1/2ln(k+1)<当n=k+1时
上述不等式左边=(3k+4)/(4k+8)+1/2ln(k+2)<(3k+4)/(4k+4)+1/2ln(k+1)<(3k+5)/(4k+4)+1/2ln(k+1)
又因为(3k+5)/(4k+4)+1/2ln(k+1)=(3k+1)/(4k+4)+1/(k+1)+1/2ln(k+1)<1+1/2+1/3+1/4+....+1/k+1/(k+1)
故有：(3k+4)/(4k+8)+1/2ln(k+2)<1+1/2+1/3+1/4+....+1/k+1/(k+1)
故上述不等式得证

Answer 2

证明：①当n=1时,4/8+(ln2)/2=1/2+(ln2)/2<1/2+(lne)/2=1，故结论成立
②假设n=k-1时结论成立，即：(3k-2)/(4k)+1/2ln(k)<1+1/2+1/3+1/4+....1/(k-1)
当n=k时，
因为：(3k+1)/(4k+4)+1/2ln(k+1)-(3k-2)/(4k)-1/2ln(k)
=1/[2(k+1)k]+1/2ln(1+1/k)
=1/2[1/k-/1(1+k)+ln(1+1/k)]
令f(x) = ln(1+x) - x ，x>0
f'(x) = 1/(1+x) -1<0
故f(x)是减函数
f(x) < f(0) =0
即 ln(1+x) < x
即ln(1+1/k) < 1/k
所以1/2[1/k-/1(1+k)+ln(1+1/k)]<1/2[1/k-/1(1+k)+1/k)]<1/k
所以：(3k+1)/(4k+4)+1/2ln(k+1)<1+1/2+1/3+1/4+....1/(k-1)+1/k
∴n=k时也成立
由①②及数学归纳原理得
原命题恒成立

Answer 3

证明：当n=1时4/8+ln2/2=1/2+ln2/2<1，结论成立
设n=k-1时结论成立，即：(3k-2)/(4k)+1/2ln(k)<1+1/2+1/3+1/4+....1/(k-1)
考虑.n=k的情形。
因为：(3k+1)/(4k+4)+1/2ln(k+1)-(3k-2)/(4k)-1/2ln(k)
=1/(2k(k+4))+ln(1+1/k)/2=(1/2k)(1/(k+4)+ln(1+1/k)^k)<1/k（1+lne)/2<1/k
所以：(3k+1)/(4k+4)+1/2ln(k+1)<1+1/2+1/3+1/4+....1/(k-1)+1/k
由归纳法原理，对一切正整数n，有(3n+1)/(4n+4)+1/2ln(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+....1/n

Answer 4

证明：（1）当n=1时，1/2+1/2ln2<1成立。
（2）当n>=2时，假设n=k时假设成立即（3k+1）/(4k+4)+1/2ln(k+1)<1+1/2+...1/k，则当n=k+1时，需证（3k+4）/(4k+8)+1/2ln(k+2)<1+1/2+...1/（k+1）
即证1/（k+1）+（3k+1）/(4k+4)+1/2ln(k+1)>（3k+4）/(4k+8)+1/2ln(k+2),
整理的1/（k+1）+1/（k+2）>ln(1+1/(k+1))
构造函数如：令1/（k+1）=x，则构造f（x）=x+x/(x+1)-ln(x+1) （0<x<1），f‘（x）=1+1/（x+1）（x+1）-（x+1）>0，f（x）为增函数，故f（x）>f(0)=0
因此1/（k+1）+1/（k+2）>ln(1+1/(k+1))成立既得证
综上所述：(3n+1)/(4n+4)+1/2ln(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+....1/n
望采纳、、、