Question

已知三角形abc中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列。（1）若b=√3/2，求a+c的取值范围

（2）若1/a，1/b，1/c也成等差数列，求A,C的大小

Answer 1

(1)∵A,B,C成等差数列
∴A+C=2B
而A+B+C=180°
∴3B=180°，B=60°
根据余弦定理：b^2=a^2+c^2-2accosB
∴3/4=a^2+c^2-2ac*1/2
即3/4+ac=a^2+c^2≥2ac
∴ac≤3/4
∴(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=3/4+3ac≤3/4+9/4=3
∴0<a+c≤√3
而a+c>b=√3/2
∴√3/2<a+c≤√3，即a+c的取值范围为(√3/2,√3]
(2)∵1/a，1/b，1/c成等差数列
∴1/a+1/c=2/b
∴2ac=(a+c)b=√3/2*(a+c)
而(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=3/4+3ac
∴a+c=√3，ac=3/4
∴a=c=√3/2=b
那么A=B=C
∴A=C=B=60°

Answer 2

A、B、C成等差数列，则：B=60°、A＋C=120°
1、a/sinA=c/sinC=b/sinB=1
则：a＋c=sinA＋sinC=sinA＋sin(120°－A)=sinA＋(√3/2)cosA＋(1/2)sinA
=(3/2)sinA＋(√3/2)cosA
=√3[(√3/2)sinA＋(1/2)cosA]
=√3sin(A＋60°)
因为：A∈(0，120°)，
则：A＋60°∈(60°，120°)
则：sin(A＋60°∈(√3/2，1]
M∈(3/2，√3]

若1/a、1/b、1/c也成等差，则：2/b=(1/a)＋(1/c)
1/sinA＋1/sinC=4/√3
sinA＋sinC=(4/√3)sinAsinC
2sin[(A＋C)/2]cos[(A－C)/2]=(4/√3)×[－(1/2)][cos(A＋C)－cos(A－C)]
√3cos[(A－C)/2]＋(2/√3)[－(1/2)－cos(A－C)]=0
设：cos[(A－C)/2]=t，则：
3t－1－2(2t²－1)=0
4t²－3t－1=0
(4t＋1)(t－1)=0
则：t=－1/4【舍去】或者t=1
则：cos[(A－C)/2]=1
得：A=C
从而有：A=B=C=60°

Answer 3

解：（1）A、B、C成等差数列，即2B＝A＋C 又A＋B＋C＝180°，故B＝60°
∵又b=√3/2，根据余弦定理：b^2=a^2+c^2-2accos60°
∴3/4＝a^2+c^2-ac
∴（a+c）^2-3/2*ac＝3/4
∵ac≤ （a+c）^2/2 -ac≥ -（a+c）^2/2
∴（a+c）^2-3（a+c）^2/4≤ 3/4
∴（a+c）^2≤ 3 解得：-√3≤a+c≤√3
∵a+c＞b=√3/2
∴√3/2＜a+c≤√3
∴a+c的取值范围(√3/2，√3]

（2）若1/a、1/b、1/c也成等差，
则有：2/b=(1/a)＋(1/c)
整理得：2ac=(a+c)b=√3/2*(a+c)
而(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=3/4+3ac
∴a+c=√3，ac=3/4
∴a=c=√3/2=b
那么A=B=C
∵又A＋B＋C＝180°
∴A=C=B=60°
从而有：A=C=60°

Answer 4

3B=180°
B=60°
(1)b/sinB=a/sinA=c/sinC
a/sinA=c/sinC=1
a+c=sinA+sinC
=2sin[(A+C)/2] cos[(A-C)/2]
=2sin(120°/2)cos[(A-C)/2]
=√3cos[(A-C)/2]
∵A+C=120°,A∈(0,120°),C∈(0,120°)
∴A-C∈(-120°,120°)
(A-C)/2∈(-60°,60°)
a+c∈(√3/2,√3]
(2) 2/b=1/a+1/c
sinB/b=sinA/a=sinC/c
2/b=sinB/(sinA*b)+sinB/(sinC*b)
1/sinA+1/sinC=2/sinB=4/3√3
1/sinA+1/sinC=(sinA+sinC)/(sinAsinC)
=√3cos[(A-C)/2]/{[cos(A-C)-cos(A+C)]/2}
=2√3cos[(A-C)/2]/{2cos^2[(A-C)/2]-1/2}
令cos[(A-C)/2=t，则：
2√3t/(2t^2-1/2)=4/3√3
4t^2-3t-1=0
t=-1/4(舍去),t=1
cos[(A-C)/2]=1
(A-C)/2=0
A=C=60°

Answer 5

由且A,B,C成等差数列得：A+C=2B
所以B=60度
cosB=1/2=（a^2-b^2+c^2）/(2ac)
有b=√3/2得：（a+c）^2-3ac-3/4=0
且a+c≥2√ac
得√3≥a+c≥√3/2
（2）1/a+1/c=2/b
2ac=(a+c)b
2sinAsinC=(sinA+sinC)sinB
A=60 C=120-A
所以解得A=60°
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