Question

一道数学几何压轴题，急求啊各位大神帮忙！！

已知矩形ABCD中，直线l垂直于点，点E是BC上的动点（不与点C重合），过点E作EF垂直于QE交直线L于点.
（1）如图①，当AB=BC，为中点时，猜想线段AE与FE有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，已知AB=3,AD=4.
①当点与点重合时，求AE:EF的值；
②探究：当点E在线段BC上运动时，AE:EF的值是否发生改变？若不变，请求出该值并给予证明；若发生改变，请说明理由.
初三的知识

Answer 1

（1）AE=EF
证明;因为ABCD是矩形
因为AB=BC
所以ABCD是正方形
所以角ACB=45度
因为AC垂直直线L
所以角ACF=90度
因为AE垂直EF
所以角AEF=90度
所以角AEF=角ACF=90度
所以A,E,C,F四点共圆
所以角ACB=角AFE=45度
因为角AEF+角AFE+角EAF=180度
所以角EAF=角AFE=45度
所以AE=EF
(2)因为AC垂直直线L
所以角ACF=90度
因为AE垂直EF
所以角AEF=90度
所以角AEF=角ACF=90度
所以A,E,C,F四点共圆
所以角AFE=角ACB
所以tan角AFE=AE/AF
tan角ACB=AC/BC
因为AC=3 BC=4
所以AC/BC=3/4
所以AE/EF=3/4
当点E在线段BC上运动时，AE:EF的值不会发生改变。该比值是：AE:EF=3/4

Answer 2

（1）证明：过E点作CE⊥NH于N
∵EF⊥BD，CH⊥BD，
∴四边形EFHN是矩形．
∴EF=NH，FH‖EN．
∴∠DBC=∠NEC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且互相平分
∴∠DBC=∠ACB
∴∠NEC=∠ACB
∵EG⊥AC，EN⊥CH，
∴∠EGC=∠CNE=90°，
又EC=EC，
∴△EGC≌△CNE．
∴EG=CN
∴CH=CN+NH=EG+EF

（2）解：猜想CH=EF-EG

（3）解：EF+EG= BD
（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．
如图①，有CG=PF-PN．追问额···第三问没有懂诶··· 回答（3）连接AC，过E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想．
（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG=PF-PN．

追问

。。你是在回答这个问题吗

Answer 3

①如果你是初三学生，学过圆，那么第一问非常简单：由直线l垂直AC，可知，AECF四点共圆，∴∠AFE=∠ACB=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，因此AE=FE.

追问

我是初三的，。但是没有学过四点共圆，第一问能用全等吗请问

追答

初三的还没学过四点共圆，我表示很诧异。全等当然能证。好像上面就有。

Answer 4

额。。。不会