Question

正实数a,b,c,a+b+c=1,（1）求证(a根号ab)/b+(b根号bc)/c+(c根号ca)/a≥1（2）根号ab+根号bc的最大值

Answer 1

1)(a/b)*√ab+(b/c)*√bc+(c/a)*√ac
≥3*∛(((a/b)*√ab)*((b/c)*√bc)*((c/a)*√ac))
=3*∛(((a/b)*(b/c)*(c/a))*(√ab*√bc*√ac))
=3*∛(√ab*√bc*√ac))
=3*∛(abc)
当且仅当a=b=c时，“=”成立
∵a+b+c=1，∴a=b=c=1/3
此时，3*∛(abc)=3*∛(1/(3*3*3))=1
∴(a/b)*√ab+(b/c)*√bc+(c/a)*√ac≥1

2)√ab+√bc≤(a+b)/2+(b+c)/2=(a+b+b+c)/2=(c+1)/2
当且仅当a=b,b=c时，“=”成立
∵a+b+c=1，∴a=b=c=1/3
此时，(c+1)/2=2/3
∴√ab+√bc≤2/3,
即√ab+√bc最大值为2/3