Question

你好，我想问一下 高数微分方程中什么是单根和重根，请详细点，最好有例子，谢啦

Answer 1

所谓单根和重根，是个相对概念。
二阶微分方程可写成y''+py'+q=Q(n)*e^(rx)，其中Q(n)是x的n次多项式。其特征方程为z^2+pz+q=0，特征根为z1,z2。
若二者都不是r，则r不是特征方程的根，在求特解时把特解设为P(n)*e^(rx)，将其代入原微分方程，比较系数，即可确定P(n)；
若r=z1且不等于z2，则称r是特征方程的单根，此时特解设为xP(n-1)*e^(rx)，将其代入原微分方程，比较系数，即可确定P(n-1)；
若r=z1=z2，则称r是特征方程的二重根，特解设为x^2*P(n-2)*e^(rx)，将其代入原微分方程，比较系数，即可确定P(n-2)。
比较系数即令方程左右两边x的同次幂的系数都分别相等，该过程一般都归结为求解多元一次方程组，普通线性消元法即可解决。
高阶微分方程同理。
例子不妨自己举几个上上手，可取课后练习，再对一下答案，几个练习后即可很快掌握求解过程。有时候困难的地方在于求解特征方程，一般试一试正负1，正负2等等即可将其降幂，不过这已经属于另外一个话题了。