Question

已知a,b属于R,比较大小√ab，√[（a^2+b^)/2],2/(1/a+1/b),(a+b)/2

可能有点乱，将就看看吧！解答得好加分

Answer 1

a和b都是正数的时候有如下关系
2/(1/a+1/b) ≤ √ab ≤ (a+b)/2 ≤ √[（a^2+b^)/2]
调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 幂平均数

第一个不等式
即2ab/（a + b）≤ √ab
也就是要证明2√ab ≤ a + b
这个是均值不等式，显然成立
所以第一个不等式成立

第二个不等式
即√ab ≤ (a+b)/2
这个就是均值不等式

第三个不等式
(a+b)/2 ≤ √[（a^2+b^)/2]
只需要证明（a + b）²/4 ≤ （a² + b²）/2
也就是证明a² + 2ab + b² ≤ 2a² + 2b²
就是证明 2ab ≤ a² + b²
这个是基本不等式，显然成立
所以第三个不等式也成立

之所以不讨论负数的情况，是因为有些在根号的情况下，可能会导致没有意义。

Answer 2

a²+b²-2ab=（a-b）² ≥ 0 所以a²+b²≥2ab 即（a²+b²）/2≥ab
因为a、b属于正实数 所以 √(（a²+b²）/2)≥ √ab
ab - 4/（1/a+1/b）² = （a/b+b/a- 2）/（1/a+1/b）² =(√a/√b-√b/√a)² / （1/a+1/b）² ≥0
因为a、b属于正实数 所以 2/（1/a+1/b）≤√ab
得证

(a²+b²)/2-(a+b)²/4=(2a²+2b²-a²-2ab-b²)/4=(a-b)²/4≥0
∴√[（a^2+b^)/2] ≥ (a+b)/2
a+b - 2√ab=(√a-√b)²≥0
∴(a+b)/2 ≥ √ab

综上为：√[（a^2+b^)/2] ≥ (a+b)/2 ≥ √ab ≥ 2/(1/a+1/b)