Question

log₂1/3=log₃1/2

Answer 1

这个等式可以转化为以下形式：
log₂1-log₂3=log₃1-log₃2
因为log₂1=0，log₃1=0，所以：
-log₂3=-log₃2
两边同时取倒数，得到：
log₃2=log₂3的倒数
因此，log₂1/3=log₃1/2等价于log₃2=log₂3的倒数。

Answer 2

要解决这个问题，我们可以利用对数的换底公式，将两边的对数底数转化为相同的数。对于任意的正数a、b和底数为c的对数，有下面的公式：
logₐb = logₐc / log_b c
将左边的对数的底数由2改为3，将右边的对数的底数由3改为2，得到：
log₃(1/2) = log₂(1/3) / logₓ(2)
为了方便计算，我们可以令logₓ(2) = t，那么上式就变为：
log₃(1/2) = (log₂(1/3)) / t
接下来，我们需要求出t的值，即logₓ(2)。可以将左右两边都以3为底数取指数，得到：
1/2 = 3^log₂(1/3) / 3^t
化简可得：
1/2 = (1/3)^log₃(2) / 3^t
再将左右两边同时乘以2，得到：
1 = (2/3)^log₃(2) / 3^t
将等式两边同时取对数（底数任意），得到：
log(1) = log((2/3)^log₃(2) / 3^t)
由于log(1) = 0，因此有：
0 = log((2/3)^log₃(2) / 3^t)
再运用对数的除法规则和指数的分配规则，可得：
0 = log(2/3) * log₃(2) - t * log(3)
移项得到：
t = log(2/3) * log₃(2) / log(3)
因此，我们得到了log₂(1/3)和log₃(1/2)的关系：
log₃(1/2) = (log₂(1/3)) / (log(2/3) * log₃(2) / log(3))
化简可得：
log₃(1/2) = log(1/3) / log(2)
因此，我们证明了原来的等式成立，即log₂(1/3) = log₃(1/2) / log(2)。