Question

已知圆C（X-3）^2+(Y-4)^2=1和点A（-1.0）B（1.0），点P在圆C上运动。

已知圆C（X-3）^2+(Y-4)^2=1和点A（-1.0）B（1.0），点P在圆C上运动。求PA^2+PB^2的最大（小）值及相应的P点坐标

Answer 1

解
可设动点P(3+cost, 4+sint), t∈R
由两点间距离公式可得:
W=|PA|²+|PB|²
=(4+cost)²+(4+sint)²+(2+cost)²+(4+sint)²
=16+16+4+16+1+1+8cost+8sint+4cost+8sint
=54+12cost+16sint
=54+20sin[t+w]
∴原式max=74
原式min=34

Answer 2

解：，设P点坐标为（x0，y0），
则PA2+PB2=（x0+1）2 +y02 +（x0-1）2 +y02=2（x02+y02）+2
令Z=x02+y02，显然Z表示圆C上一点到原点的距离的平方，
当Z最大（小）时，PA2+PB2最大（小），设直线OC交圆C于两点P1，P2，
当P与P1重合时，Z最小，其值为（|OC|-1）2=16
当P与P2重合时，Z最大，其值为（|OC|+1）2=36
∴PA2+PB2的最大值为74，最小值为34．
直线OC的方程为y=
43x，解方程组y=
43x(x-3)2+(y-4)2=1
台得P1(
125，
165)，P2(
185，
245) 即相应的点P的坐标．