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纯代数的方法:
首先,4c-a>=b>=0,c/a>=1/4 ;5c-3a<=4c-a,c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时,第二个不等式不成立。
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e,从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知:2<=b/a=e<=3,不等式成立,从而e可以取得。从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。
当然本题或许可以从几何的角度,也就是线性规划的知识来解答。本题主要考察用不等式的方法求变量的范围,主要考察=号是否成立要单独验证。本题有点难度。个人觉得不应该在高考中考查取值范围的题目,因为从广义上讲填(0,+无穷)都应该算对!题目本身有点‘歧义’。
首先,4c-a>=b>=0,c/a>=1/4 ;5c-3a<=4c-a,c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时,第二个不等式不成立。
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e,从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知:2<=b/a=e<=3,不等式成立,从而e可以取得。从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。
当然本题或许可以从几何的角度,也就是线性规划的知识来解答。本题主要考察用不等式的方法求变量的范围,主要考察=号是否成立要单独验证。本题有点难度。个人觉得不应该在高考中考查取值范围的题目,因为从广义上讲填(0,+无穷)都应该算对!题目本身有点‘歧义’。
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首先,4c-a>=b>=0,c/a>=1/4 ;5c-3a<=4c-a,c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时,第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e,从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知:2<=b/a=e<=3,不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1.
从而b/a的取值范围是[e,7]双闭区间。
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时,第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e,从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知:2<=b/a=e<=3,不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1.
从而b/a的取值范围是[e,7]双闭区间。
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设c=1,则5-3a<=b<=4-a lnb>=a即e^a<=b
利用线性规划b=4-a与b=5-3a的交点坐标为(1/2,7/2);则b/a的最大值为7
过原点作b=e^a的切线得b/a的最小值为e且切点坐标为(1,e)在区域内.
故b/a的取值范围为[e,7]
利用线性规划b=4-a与b=5-3a的交点坐标为(1/2,7/2);则b/a的最大值为7
过原点作b=e^a的切线得b/a的最小值为e且切点坐标为(1,e)在区域内.
故b/a的取值范围为[e,7]
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