Question

数学月考阿、急阿……！！ 1=0+1 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64 根据上式...

数学月考阿、急阿……！！
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
根据上式，得出一般性结论是……

Answer 1

一般公式(n^2+1)+(n^2+2)+...+(n+1)^2=n^3+(n+1)^3

证明：
1。n=1时，2+3+4=1+8，等式成立。
2。设n=k>=2时等式成立，则(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k+1)^2=k^3+(k+1)^3
即(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)=k^3+(k+1)^3
对于n=k+1,有
[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+(k+2)^2
=[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+[(k+1)^2+2k+3]
=[(k^2+1)+(2k+1)]+[(k^2+2)+(2k+1)]+...+[(k^2+2k+1)+(2k+1)]+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+6k^2+12k+8
=(k+1)^3+(k+2)^3
等式对n=k+1也成立
3。终上所述，等式对所有正整数n成立

Answer 2

一般性结论：(n^2+1)+(n^2+2)+...+(n+1)^2=n^3+(n+1)^3

Answer 3

1=0+1=0^3+1^3；
2+3+4 =1+8=1^3+2^3；
5+6+7+8+9=8+27=2^3+3^3；
10+11+12+13+14+15+16=27+64=3^3+4^3；
……
(n^2+1)+(n^2+2)+(n^2+3)+……+{n^2+[n+(n+1)]}=n^3+(n+1)^3
即(n^2+1)+(n^2+2)+...+(n+1)^2=n^3+(n+1)^3

Answer 4

M个连续自然相加：第A个算式
N+（N+1）+（N+2）+……+（N+M）=（N-1）*（A-1）+（N+M）*A

Answer 5

(N^2+1)+(N^2+2)+......+(N+1)^2=N^3+(N+1)^3