Question

已知如图,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE垂直AC于E,F是DE的中点，求证：AF垂直BE。

Answer 1

∵AB=AC 点D是BC中点 ∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠CDE＋∠ADE=90°
又∵DE⊥AC ∴∠C＋∠CDE=90° ∴∠C=∠ADE 且∠CED=∠DEA=90°
∴⊿CED∽⊿DEA ∴CE／DE=CD／AD ∴CD•DE=CE•AD ∴﹙2CD﹚•﹙½DE﹚=CE•AD
∴CE／﹙½DE﹚=2CD／AD 即CE／DF=CB／AD
又∵∠C=∠ADE ∴⊿CBE∽⊿DAF ∴∠CBE=∠DAF
∵∠ADB=90° ∴∠DBA＋∠BAD=90° 即∠EBA＋∠CBE＋∠BAD=90°
∴∠EBA＋∠DAF＋∠BAD=90°即∠EBA＋∠BAF=90° ∴∠AGB=90°
∴AF⊥BE