Question

如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线。求证:AB=AC+CD

Answer 1

解：延长AC到E，使CE=CD，连接DE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED，
∴∠ACB=2∠CED，
∵∠C=2∠B，
∴∠B=∠E，
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴AB=AE，
∴AB=AC+CD．

追问

延长？

Answer 2

解：因为AD是∠BAC的角平分线
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD=△CAD
所以∠EDA=∠CDA，ED=CD
又因为∠CDA=∠B+∠BAD，∠BDA=∠C+∠CAD，∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）
=∠B
所以△BED为等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD