Question

31的立方➕35的立方➕39的立方➕……➕71的立方等于多少怎么算？

Answer 1

31³+35³+39³+……+71³，
这是等差数列的立方和，公差4，项数n=（71-31）÷4+1=11；
a[n+1]³=（an+4）³=an³+12an²+48an+64
35³=31³+12x31²+48x31+64
39³=35³+12x35²+48x35+64
43³=39³+12x39²+48x39+64
……
71³=67³+12x67²+48x67+64
75³=71³+12x71²+48x71+64
--------------------------------两边相加，消除两边相同项
75³=31³+12（31²+……+67²+71²）+48（31+……+67+71）+11x64
（31²+……+67²+71²）=（75³-31³-11x4³-48x（31+71）x11/2）/12
=30371
a[n+1]^4=(an+4)^4=an^4+16an^3+96an^2+256an+256
35^4=31^4+16x31^3+96x31^2+256x31+256
39^4=35^4+16x35^3+96x35^2+256x35+256
……
71^4=67^4+16x67^3+96x67^2+256x67+256
75^4=71^4+16x71^3+96x71^2+256x71+256
----------------------------------------------------------两边相加，消去两边相同项
75^4=31^4+16（31³+……+71³）+96（31²+……71²）+256（31+……+71）+11x256
（31³+……+71³）=[75^4-31^4-96x30371-256x(31+71)x11/2-11x256]/16
=1728441
这种方法，可以通用。也可以公式化。
如果知道下面的公式，也可以用更简单的方法求解：
1+2+3+……+n=n(n+1)/2=S1（n）
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6=S2（n）
1³+2³+3³+……+n³=[n(n+1)/2]²=S3（n）
31³=（32-1）³=32³-3x32²+3x32-1
35³=（36-1）³=36³-3x36²+3x36-1
39³=（40-1）³=40³-3x40²+3x40-1
……
71³=（72-1）³=72³-3x72²+3x72-1
（31³+……+71³）=（32³+……+72³）-3（32²+……+72²）+3（32+……+72）-1x11
=4³（8³+9³+……+18³）-3x4²（8²+9²……+18²）+3x4（8+9+……+18）-11
=64x（S3（18）-S3（7））-48（S2（18）-S2（7））+12（8+18）x11/2-11
=64x([(1+18)x18/2]²-[（1+7）x7/2]²)-48[18(18+1)(2x18+1)/6-7(7+1)(2x7+1)/6]+1716-11
=64x(29241-784)-48(2109-140)+1705
=1728441