Question

在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C，所对的边，且b^2=ac,向量m=(cos(A-C),1)和n=(1,cosB) 满足m·n=3／2

（1）求sinAsinC的值；
（2）求证：三角形ABC为等边三角形

Answer 1

m和n当中的是什么，点积？

追问

是点积

追答

(1)m•n=3/2
cos(A-C)+cosB=3/2,
cos(A-C)+cos[π-(A+C)]=3/2
cos(A-C)+cos(A+C)=3/2
cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=3/2
sinAsinC=3/4
(2)b^2=ac
sin^2B=sinAsinC
sin^2B=3/4
cos^B=1/4
cosB=±1/2
若cosB=1/2 ,B=π/3
由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB
b^2=a^2+c^2-ac
ac=a^2+c^2-ac
(a-c)^2=0
a=c
B=π/3
所以三角形ABC为等边三角形
若cosB=-1/2
cos(A-C)+cosB=3/2
cos(A-C)=2 cos(A-C)<1
所以舍去
综上，三角形ABC为等边三角形