Question

若a+b=2证明a平方乘以b平方乘以括号a平方加b平方括号小于等于二？

Answer 1

要证明 a^2 * b^2 * (a^2 + b^2) <= 2，需要以下步骤：
已知：a + b = 2
首先，利用已知条件 a + b = 2，可以得到 a^2 + b^2 ≥ (a + b)^2 / 2，这是由均值不等式得出的。
将 a + b = 2 代入上式，得到：
a^2 + b^2 ≥ (2)^2 / 2
a^2 + b^2 ≥ 2
接下来，将 a^2 + b^2 代入原始不等式中：
a^2 * b^2 * (a^2 + b^2) ≤ a^2 * b^2 * 2 （将 a^2 + b^2 替换为 2）
然后，考虑 a 和 b 的范围。由于 a 和 b 可以取任意实数，所以 a^2 和 b^2 一定都是非负数。因此，可以将 a^2 和 b^2 分别替换为 x 和 y，其中 x = a^2, y = b^2。
将 x = a^2, y = b^2 代入不等式，得到：
x * y * (x + y) ≤ 2
现在，我们要证明 x * y * (x + y) ≤ 2 对于任意非负实数 x 和 y 成立。
考虑函数 f(t) = t * (2 - t)，其中 0 ≤ t ≤ 2。
对 f(t) 求导，得到：
f'(t) = 2 - 3t
当 t = 2/3 时，f'(t) = 2 - 3(2/3) = 0，即 f(t) 在 t = 2/3 处取得最大值。
由于 0 ≤ x, y ≤ 2，所以 x 和 y 可以取到最大值 2。因此，x * y * (x + y) ≤ f(2/3) = 2，即原始不等式成立。
综上所述，根据已知条件 a + b = 2，可以证明 a^2 * b^2 * (a^2 + b^2) ≤ 2 成立。