Question

已知函数f(x)=ln x +x^2 -2ax+1 (a为常数),求函数f(x)的单调区间。

Answer 1

f(x)=lnx+x²-2ax+1
定义域x>0
f'(x)=1/x+2x-2a=(2x²-2ax+1)/x=[2(x-a/2)²+1-a²/2]/x
∴1-a²/2≥0→-√2≤a≤√2时，f'(x)≥0 f(x)全定义域单调递增
a<-√2时
驻点x=[a±√(a²-2)]/2<0,不在定义域内，f'(x)>0 f(x)全定义域单调递增
∴a≤√2时，f(x)的单调递增区间为x∈(0,+∞)
a>√2时
驻点x₁=[a-√(a²-2)]/2 极大值点
驻点x₂=[a+√(a²-2)]/2 极小值点
∴x∈(0,x₁)∪(x₂,+∞) f(x)单调递增
x∈(x₁，x₂) f(x)单调递减

Answer 2