Question

既然二元函数极限存在需要靠所有路径的趋向来判断，那如何来证明靠极限来定义的二元函数的连续？

因此，好像只能通过反例来证明二元函数不连续，那到底如何证明其连续呢？

Answer 1

当变化的点(x,y),与（a,b）的距离趋向0时函数f(x,y)趋向一个常数A，且A=f(a,b), 则f(x,y)在(a,b)连续。因为此时不管点(x,y)用什么路径趋向（a,b），f(x,y)都趋向f(a,b),即在此点连续

追问

理论没有什么好说的吧，都懂，关键是实际的时候，证明二元函数连续还需要自己去找无数个趋近条件来证明在这无数个条件下都满足极限值等于A，才能说明连续？你怎么能知道你考虑到了所有的趋近方向？

追答

在不连续的情况，是努力找一个说明不连续的方向（如极限不存在、极限不等于函数值），就可以了。在连续的情况，思考方法不是对所有的路径都去证明，你是不可能穷尽所有路径的。只能用上述的要去证明：当距离趋向零时函数的差趋向0.

追问

有点笼统啊，具体的话还是不知道怎么做啊，是不是就是不通过定义直接先求出极限，然后通过极限和函数值相等来证明呢？

追答

一般说，先判断是否连续，如连续，就要证明；如果不连续，就想法找出不同路径极限不同或不存在。如果发现判断错误，那就考虑另一种可能试试。如（x^2+y^2）/(|x|+|y|),在原点为0；这个函数可以用（x^2+y^2）的根式来估计，当这就是所说的距离，所以在原点连续。如果是（3x^2+4y）/（3x^2+y^2），在原点为零，这个函数取不同路径时（|x|^2=y,及y=0）极限不同，在原点不连续。

追问

感谢你的详解，可是我只想知道怎么证明连续啊，证明不连续就是找特殊反推不成立啊，这个我知道，问题的关键是我不知道怎么证明连续！

追答

证明当（x-a）^2+(y-b)^2趋向0时，|f(x,y)-f(a,b)|趋向0，则f(x,y)在(a,b)连续。要具体推导出|f(x,y)-f(a,b)|的表达式，利用不等式的估计方法，说明其趋向0.这就代替了要说明任何途径的问题。

追问

反正就是直接求出其极限是吧