Question

设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π).求函数的最小正周期和单调递增区间

Answer 1

解：
f(x)=cos(2x+π/3)+[sin(x+π)]^2
f(x)=cos(2x)cos(π/3)-sin(2x)sin(π/3)+(sinx)^2
f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)+[1-cos(2x)]/2
f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1/2
f(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)
可见，最小正周期是：2π/2=π
f(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)
f'(x)=-(√3)cos(2x)
令：f'(x)＞0，即：-(√3)cos(2x)＞0
整理，有：cos(2x)＜0
可见：2kπ+π/2＜2x＜2kπ+3π/2，其中：k=0、±1、±2、±3……
解得：kπ+π/4＜x＜kπ+3π/4，
即：f(x)单调区间是：x∈(kπ+π/4，kπ+3π/4)，其中：k=0、±1、±2、±3……

Answer 2

f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π)=cos(2x+π/3)+sin^2( x)
=(1/2)cos2x-(√3/2)sin2x+(1/2)(1-cos2x)
=(1/2)-(√3/2)sin2x，
所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π/2=π。
f(x)单调递增，就是sin2x单调递减，
由2kπ+π/2≤2x≤2kπ+3π/2，得kπ+π/4≤x≤kπ+3π/4，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ+π/4，kπ+3π/4](k∈Z)。

Answer 3

f(x)=cos2xcosπ/3-sin2xsinπ/3+sin²x
=1/2(2cos²x-1)-√3/2(2sinxcosx)+sin²x
=cos²x-√3sinxcosx+(1-cos²x）-1/2
=1/2-√3/2sin2x
∴T=2π/2=π
∵2x∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]递增
∴x∈[-π/4+kπ,π/4+kπ]递增