Question

如图，抛物线y=ax^+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P ,与直线BC相

如图，抛物线y=ax^+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P ,与直线BC相交于点M，连接PB。
（1）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（2）在X轴上方，抛物线上是否存在一点R，使△RPM于△RMB的面积相等？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

抛物线过C(0,3)点，则c=3，过A(-1,0)，则0=a-b+3，过B(3,0)，则0=9a+3b+3，解得a=-1，b=2

即抛物线方程为y=-x²+2x+3

1)点P(1,4)，直线BC方程为：y=-x+3    一般式为x+y-3=0

  则点P到直线BC的距离d=|1+4-3|/√(1²+1²)=√2

  设与直线BC平行且距离为√2的直线方程为x+y+m=0，即有：|m+3|/√2=√2

  得m=-1或m=-5

 联立y=-x²+2x+3与x+y-1=0得交点Q坐标为±((3+√17)/2,(-1-√17)/2)

 联立y=-x²+2x+3与x+y-5=0得交点Q3坐标为(1,3)，其中另一个交点就是P(1,4)

因为此时S△QMB与△PMB是共底边MB，又P及Q点到底边距离都为√2，故有这两个三角形面积相等。

2)△RPM与△RMB有公共边RM，则若P和B到直线RM的距离相等，则两三角形以RM为底边的高相等，则面积相等。

设PB中点为N，则坐标N(2,2)， M(1,2)，此时由于必有P和B到直线MN的距离相等

故MN直线方程为：y=2

  y=2与y=-x²+2x+3的解x=1±√2  ，即R(1±√2,2)都在x轴上方，满足条件.

Answer 2

(1)、存在三个点
解法如下：
(1)、设：抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-3) 则：
a(0+1)(0-3)=3
a=-1
抛物线解析式为：y=-(x+1)(x-3)
=-x²+2x+3
P点坐标为(1、4)
易求直线BC解析式为：y=-x+3
M点坐标为(1、2)
PM=4-2=2
抛物线上一点Q，满足△QMB与△PMB的面积相等，则：
点Q是过点P平行于直线BC的直线与抛物线的交点或将直线BC向下平移PM个单位后与抛物线的交点。
①设直线解析式为 y=-x+b1 则：
-1+b1=4 b1=5
直线解析式为：y=-x+5
与y=-x²+2x+3联立方程组解得：x=1 y=4或x=2 y=3
这种情况的Q点坐标为：(2、3)
②直线BC下移PM个单位后的直线解析式为：y=-x+1
与y=-x²+2x+3联立方程组解得：x=(3+√17)/2 y=-(1+√17)/2或x=(3-√17)/2 y==-(1-√17)/2
这种情况的Q点坐标为：( (3+√17)/2 、-(1+√17)/2 )
( (3-√17)/2 、-(1-√17)/2 )
(2)、抛物线上一点R，满足△RPM与△RMB的面积相等 则：
点R是过点M和线段PB中点的直线与抛物线的交点
线段PB中点坐标为：( (1+3)/2、（4+0)/2 ) 即：(2、2)
因点M坐标为：(1、2)
所以这条直线为平行于x轴的直线，y=2
当y=2时，-x²+2x+3=2
x=1+√2 或1-√2
R点坐标为：(1+√2、2) (1-√2、2)