Question

已知随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y相互独立，则X＋Y服从__

Answer 1

【答案】：服从Poi(5)
解析：
设X1服从参数为λ1的泊松分布，
设X2服从参数为λ2的泊松分布。
则对于任意非负整数k，有
P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!
P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!
于是(sum表示求和)
P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (独立性，全概率公式)
= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)
= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)
= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二项式定理)
= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!
即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用数学归纳法可证n个独立柏松变量的和服从
Poi(λ1+λ2+...+λn)