Question

将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B.另

将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B.另一边与射线DC相交与点Q!探究设A.P两点间的距离为x！第一问，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有什么关系！证明步骤写清楚！第二问，当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域！第三问，当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出有能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值！

Answer 1

证明：(1)连BQ,因∠BCQ与∠BPQ互补，PBCQ四点共圆

∠PQB=∠PCB=45° 故PB=PQ.或连PD，先证△PCB≅△PCD

(SAS)得PB=PD  ∠PBC=∠PDC    因为∠PBC与∠PQC互补(用四边形内角和等于360度)，

∠PQD和∠PQC互补(平角等于180度)

得∠PQD=∠PBC=∠PDQ得PD=PQ=PB

(2)由余弦定理得：PB=√((1^2)+(x^2)-2×1×x×(√(2)/2))=√((x^2)-√(2)x+1)

BQ=√(2)PB=√(2)×√((x^2)-√(2)x+1)=√(2((x^2)-√(2)x+1))

CQ=√((BQ^2)-(BC^2))=√(((√(2)X-1)^2))=1-√(2)X(X≤√(2)/2)

∴S△PBQ=(PB^2)/2=((x^2)-√(2)x+1)/2

∴S△BCQ=CQ×BC/2=(1-√(2)X)/2

S四边形PBCQ=S△PBQ+S△BCQ

∴y=((x-√(2))^2)/2(0≤x≤√(2)/2)

当Q在DC延长线上时：延长BP交CD于G,

△PAB∼△PCG

AB/GC=AP/PC   1/GC=X/(√(2)-X)⇒GC=(√(2)-X)/X⇒(GC^2)=([(√(2)-X)/X]^2)

(BG^2)=(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)

∴S△GPC=(1/2)×(√(2)-X)×[(√(2)-X)/X]×(√(2)/2)=[((√(2)-X)^2)√(2)]/4x

S△GQB/S△GPC=(GC^2)/(BG^2)={(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)}/([(√(2)-X)/X]^2)

∴S△GQB=[√(2)((x^2)-√(2)x+1)]/2x

∴S四边形BPCQ=S△GQB-S△GPC=√(2)x/4

即y=√(2)x/4(√(2)/2≤x≤√(2))

(3)因∠BPQ=∠BCQ=90°得BPCQ四点共圆得∠PQB=∠PCB=45°

故PB=PQ

(不用四点共圆同样可用全等相似及等腰证PB=PD=PQ)

△PCQ为等腰三角形只有一种可能：CQ=CP

此时∠CPQ=∠CQO=∠DCA/2=45/2=22.5°

∠APB=180-90-22.5=67.5°

∠ABP=180-45-67.5=67.5°

∴∠ABP=∠APB

∴AP=AB=1

CQ=CP=AC-AB=√(2)-1

则x=1    CQ=√(2)-1

追问

我们没学余弦定理、能不能简单点啊、我才初二... ...

追答

初二？哪函数怎么弄啊？？

追问

我就是不知道啊、、、、

追答

第二问不是初二可能解决的。

追问

好吧、谢谢