Question

标准正态分布X4次方期望

标准正态分布E（X4次方）由性质可以求解吗？求高手！！！

Answer 1

可以的，很简单：
显然X^2服从自由度为1的卡方分布，故E(X^2)=1，D(X^2)=2
得到E(X^4)=D(X^2) + (E(X^2))^2 = 3.
希望你能明白，第一步利用了卡方分布的定义，第二步利用了方差的定义。

结论，若 X~N(0,1)，则
若N为奇数则E(X^N)=0
若N为偶数则E(X^N)=(N-1)!!。
例如E(X^8)=7*5*3*1=105

追问

嗯，好！我们书上是在求卡方分布方差时用到了D(X^2)=E(X^4)-(E(X^2))^2，直接等于3-1=2，也就不知道了E(X^4)=3怎么回事。最后结论很牛啊，要是证明了结论，应该就能算出E(X^4)啦，谢谢你啊！！！！另外自由度具体什么意义不明白，希望请你讲解一下。。。

追答

卡方分布是由标准正态分布平方和累加而成，自由度就是组成个数，比如χ2(5)就是五个独立的标准正态分布平方和相加，χ2(n)的期望是n，方差是2n

Answer 2

好不容易找到了，是用连续积分的定义
E(X^4)=积分x^4*f(x)dx 其中f（x）是标准正态分布N（0,1）的概率密度函数， 积分出来的结果是三，可是我积分出来做不出结果，麻烦你做做看之后贴出来下结果。。。