Question

∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx 其中∑是柱面x^2+y^2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的前侧。

求过程。多谢

Answer 1

补平面z=0（下侧），z=3（上侧），x=0（后侧），y=0（左侧），这几个平面与原来的曲面构成一个封闭曲面，则整个积分可用高斯公式
∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx
=∫∫∫ (1+1+1) dxdydz
=3∫∫∫ 1 dxdydz
被积函数为1，积分结果为区域体积，该区域体积为：3π/4
=9π/4

下面将补的平面上积分全部减出去
z=0：∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0
z=3：∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=∫∫3dxdy=3(π/4)=3π/4
x=0：∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0
y=0：∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=0

因此原积分=9π/4-3π/4=3π/2