Question

怎么证明：{Xn}为有界数列的充要条件是{Xn}的任一子列都存在其收敛的子列？

Answer 1

在完成证明之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列。
证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。下面分2种情况：
情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”，那么把这些作为“龙头”的项依次取出来，得到一个严格递减的数列；
情况2 这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”，取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项），记作a(i(1))，由于a(i(1))不是“龙头”，在它后面必有一项a(i(2))，满足 a(i(1))<=a(i(2))，这里 i(2)>i(1) ；又因为a(i(2))也不是“龙头”，在它后面也必可找到一项a(i(3))，满足 a(i(2))<=a(i(3))，其中 i(3)>i(2) ；依次进行下去，得到的子列a(i(n))，它显然是一个递增的子列。
所以 任一数列中都能取出一个单调子列。
下面证明 数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
证明：当数列a(n)有界，对a(n)中的任一子序列a(i(n))，利用上述结论，能从a(i(n))中取出一个单调的子序列 a(i(n(k)))；又因为a(n)有界，那么a(i(n(k)))也有界，单调有界数列必有极限，所以a(i(n(k)))收敛，即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列。必要性得证。
当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时，这里用用反证法来证明a(n)有界。假设a(n)无界，即对任给的A>0，存在自然数 n ，使得|a(n)|>A ；
现取A=1，存在n(1)，使得|a(n(1))|>1 ；
取A=2，存在n(2)，使得|a(n(2))|>2 ；
..........
取A=k，存在n(k)，使得|a(n(k))|>k ；
............
这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ，满足 |a(n(k))|>k ，根据题目条件，a(n)中的任一子序列有收敛子列，那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列，然而从 |a(n(k))|>k 这一点上，可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列，矛盾。所以 a(n) 有界。充分性得证。
综上所述，数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
如有不理解的地方可再细问，希望对你有帮助~

Answer 2

意会