一元运算的一元运算和二元运算
设S是集合, 函数 f : S → S称为S上的一个 一元运算 .
例 10.1 (1) 求数的相反数是整数集合Z 、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.
(2) 求数的倒数是非零有理数集和非零实数集上的一元运算.
(3) 求复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.
(4) 在幂集合P(S)上, 如果规定全集为S, 则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算.
(5) 设集合S上所有双射函数组成的集合为, 则求双射函数的反函数是A上的一元运算.
(6) 在n(n≥2)阶实数集合(R) 上,求矩阵的转置矩阵是(R)上的一元运算 .
注: 验证 S上一种运算是否为一元运算主要应检验两点:
(1) S中任何元素都能进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任何元素进行运算的结果都仍在S中, 即S对运算 是封闭的. 设S是集合,函数 f : S Ⅹ S → S称为S上的 二元运算 。
注: 验证 S上一种运算是否为二元运算也主要检验两点:
(1) S中任二元素都可进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任二元素运算的结果都仍在S中(运算具有封闭性).
例 10.2 (1) 自然数集合N上的加法和乘法都是N上的二元运算, 但减法和除法不是。
(2) 整数集合 Z 上的加法、减法和乘法都是 Z 上的二元运算, 但除法不是。
(3) 实数域 R 和有理数域 Q 上的加法、减法、乘法都是二元运算, 但除法不是; 非零实数域和非零有理数域上的乘法和除法都是二元运算, 但加法和减法不是。
(4) 在所有 n阶实矩阵(n≥2)形成的集合M n(R) 上, 矩阵的加法和乘法都是二元运算。
(5) S 为任意集合, 则∪, ∩, －, ⊕ 为 S 的幂集 P(S) 上的二元运算.
(6) S 为集合, S 上所有函数形成的集合为. 则函数的复合运算⌈是上的二元运算。
注: 通常用符号 *, , ·, …, 等来表示运算, 称为运算符。
例 10.3 设有实数域R上的二元运算: ∀ x , y ∈ R, x * y = x, 计算
解:
有限集合 S上的一元和二元运算除了使用函数表达式给出外, 也可以用运算表给出; 运算表的一般格式为:
例 10.4 设S={1,2},给出P(S)上的补运算～和对称差运算 ⊕ 的运算表 ,其中全集为S。
解: 所求运算表如下 :
例10.5 设S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算如下: xy=(xy)（mod 5）, ( ∀ x, y ∈ S)
求运算的运算表。
解: 所求运算表如下:
