为什么驻点不一定是极值点? 60
驻点和极值点都是函数 y=f(x) 的一个横坐标 x_0，但它们有不同的含义和性质。
驻点是指函数的一阶导数为零的点，即在这一点，函数的输出值停止增加或减少。
极值点是指函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大或最小，这函数在该点处的值就是一个极大或极小值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大或小，它就是一个严格极大或极小值。
驻点和极值点之间的关系是：
如果函数在某一点可导，并且在该点取得极值，那么该点一定是驻点。
如果函数在某一点可导，并且该点是驻点，那么该点不一定是极值点。
如果函数在某一点不可导，那么该点可能是极值点，也可能不是极值点。
函数 y=x^2 在 x=0 处可导，并且取得极小值 0，所以 x=0 是驻点也是极值点。
函数 y=x^3 在 x=0 处可导，并且导数为 0，所以 x=0 是驻点，但不是极值点。
函数 y=|x| 在 x=0 处不可导，并且取得极小值 0，所以 x=0 是极值点，但不是驻点。
函数 y=xsin(1/x) 在 x=0 处不可导，并且没有极值，所以 x=0 既不是驻点也不是极值点。
举例说明：
给你做个大题（好人做到底）：
设函数 f(x)=x3-3x2-9x+5，求：
(1) f(x) 的单调区间和极值点；
(2) f(x) 的最大值和最小值；
(3) f(x) 的拐点坐标。
我将按照题目的要求，给出每个问题的解答过程和结果。
(1) f(x) 的单调区间和极值点
解答过程：
首先，我们求出 f(x) 的一阶导数和二阶导数：
f’(x)=3x^2-6x-9
f’'(x)=6x-6
然后，我们令 f’(x)=0，解出驻点的横坐标：
3x^2-6x-9=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 或 x=-1
接着，我们用导数符号法判断驻点的性质：
当 x<-1 时，f’(x)>0，f(x) 递增；
当 -1<x<3 时，f’(x)<0，f(x) 递减；
当 x>3 时，f’(x)>0，f(x) 递增。
所以，x=-1 是 f(x) 的极大值点，极大值为 f(-1)=18；
x=3 是 f(x) 的极小值点，极小值为 f(3)=-20。
最后，我们根据驻点和单调性确定单调区间：
f(x) 在 (-∞,-1) 上单调递增；
f(x) 在 (-1,3) 上单调递减；
f(x) 在 (3,+∞) 上单调递增。
解答结果：
f(x) 的单调区间为 (-∞,-1)，(-1,3)，(3,+∞)
f(x) 的极大值点为 (-1,18)
f(x) 的极小值点为 (3,-20)
(2) f(x) 的最大值和最小值
解答过程：
由于 f(x) 是一个三次多项式函数，它的图像是一条没有界限的曲线，所以它在整个定义域上没有最大值和最小值。
但是，如果我们限定一个有限的区间 [a,b]，那么根据闭区间上连续函数的最值定理，f(x) 在 [a,b] 上一定有最大值和最小值。
这时，我们可以用以下方法求出最大值和最小值：
首先，求出 f(x) 在 (a,b) 内的驻点 x_0，并计算 f(x_0)
然后，求出 f(a) 和 f(b)
接着，比较 f(a)，f(b)，f(x_0) 三者的大小关系
最后，取其中最大的一个作为最大值，取其中最小的一个作为最小值
举例说明：
如果我们取区间 [-2,4]，那么我们可以按照以下步骤求出最大值和最小值：
首先，在 [-2,4] 内只有两个驻点 x=-1 和 x=3，并且 f(-1)=18，f(3)=-20
然后，f(-2)=15，f(4)=13
接着，比较三者的大小关系，得到 18>15>13>-20
最后，取 18 作为最大值，取 -20 作为最小值
解答结果：
f(x) 在整个定义域上没有最大值和最小值；
f(x) 在 [-2,4] 上的最大值为 18，最小值为 -20。
(3) f(x) 的拐点坐标
解答过程：
首先，我们求出 f’'(x) 的零点，即 f(x) 的可能拐点的横坐标：
f’'(x)=6x-6
6x-6=0
x=1
然后，我们用二阶导数符号法判断拐点的性质：
当 x<1 时，f’'(x)<0，f(x) 凹向下；
当 x>1 时，f’'(x)>0，f(x) 凹向上。
所以，x=1 是 f(x) 的拐点，拐点坐标为 (1,-6)。
解答结果：
f(x) 的拐点坐标为 (1,-6)。
举个例子，考虑函数$f(x,y)=x3-y3$。该函数的一阶偏导数为$f_x=3x2$和$f_y=-3y2$，驻点为$(0,0)$。计算二阶偏导数得$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y$，则$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}2=-36y2$，在$(0,0)$处这个值等于$0$，不符合定理中的非负要求。因此，驻点$(0,0)$不是$f(x,y)$的极值点。
因此，只有满足定理中的充分条件，才能说明在该点处函数取得了极值。
极值点是函数的另一种特殊点，指的是函数在该点处取得极大值或极小值的点。
驻点不一定是极值点的原因如下：
1. 驻点可能是函数的拐点。在拐点处，函数的导数为0，但不是极值点。因为在拐点处，函数的导数发生了变化，从正数变为负数或从负数变为正数，函数在这个点处发生了方向的改变，但它不是极值点，因为在该点的左侧和右侧都可以取得更大或更小的函数值。
2. 驻点可能是函数的平台点。在平台点处，函数的导数为0，但不是极值点。因为在平台点左右两侧的函数值相同，无法判断该点处是极大值还是极小值，因此该点不是极值点。
3. 驻点可能是函数的间断点。在间断点处，函数的导数可能不存在，但不是极值点。因为在间断点左右两侧函数的值可以完全不同，无法判断该点是否为极大值或极小值。
因此，驻点不一定是极值点，只有在某些情况下，驻点才是函数的极值点。
一个驻点可能是：
- 局部极小值点
- 局部极大值点
- 拐点
一个拐点是不是极值点的原因是，它处于某个方向的局部最大或最小，但沿着另一个方向却没有极值。因此，这意味着在某些方向上函数在该点有极值，而在其他方向上则没有极值。
一个常见的例子如下：$f(x,y)=x^3-y^3$
$f_x = 3x^2, f_y=-3y^2$, 所以只有当$x=y=0$时才可能找到$f$的临界点。
对于$(0,0)$处，导数明显是$0$。可以通过画出等高线来观察这个表面：
```
z |
|
1 |
|
| /.
|/
0 |
|\
| \.
-1 |_______
-1 1 x
```
在$(0,0)$，看起来像一条笛卡尔牛脊形状（即山顶）所以这被认为是一个拐点而不是极值点。事实上，如果我们沿着$x$轴移动，$f(x,0)=x^3$在$x>0$上单调递增，在$x<0$时单调递减，因此$(0,0)$不是一个局部极小值或者极大值。
这个例子说明了驻点不一定是极值点的原因是因为函数可能在某些方向上有最大值或最小值（例如笛卡尔牛脊），但在其他方向上可能没有。
