Question

已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合），过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC于

点E,过点E作EF垂直于AC,垂足为点F一。(1)求证：PB等于PE
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，请在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述 （1） 中的结论是否仍然成立，是说明理由。
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，是说明理由。

Answer 1

（1）如图，过p点作HI//AD，则HI⊥AB，HI⊥CD，由PB⊥PE得∠1＋∠2＝90°，又∠2＋∠PBI=90°,则∠1=∠PBI,在边长为1的正方形ABCD中BI=1-AI=1-PI(因为AI=IP)且PH=1-PI,则PH=BI 又∠PHE=∠PIB,因此⊿PHE≌⊿BIP,因此PB=PE.

(2)结论仍成立，证明方法相同。

（3）当⊿PEC为等腰三角形时，∠1=∠PEC=45°(因为∠PEC在运动过程中始终大于90°，不会与另两个角相等)此时∠2=45°=∠PBA, IB=PI=AI=1/2AB=1/2    AP=(√2)/2

望给分

Answer 2

过点P作BC平行线，交AB，DC为GH
PH=BG，角PBG=HPE
三角形PBG与PHE全等，所以PB=PE

当E在DC延长线上，P低于AC中点，过P点作BC，DC垂线，交点为G，H
BPG，PHE全等，所以PB=PE仍成立

3。不会，因为角ECP=45度角EPC不可能是45度

Answer 3

（1）证明：连接BE
因为ABCD是正方形
所以角ACE=45度
角BCE=90度
因为BP垂直PE
所以角BPE=90度
所以角BPE+角BCE=180度
所以P,B,C,E四点共圆
所以角PBE=角ACE=45度
因为角BPE+角PBE+角PEB=180度
所以角PBE=角PEB=45度
所以PB=PE
(2)点E应落在BC的延长线上，PB=PE的结论才成立
(3)三角形PCE不能为等腰三角形
因为当三角形PCE是等腰三角形时
PE=PC
所以角EPC=角PCE
因为角PCE=45度
所以角PEC=90度
因为角BCP=角BPE=90度（已证）
因为角PEC+角BCE+角BPE+角PBC=360度
所以角PBC=90度
所以点P就在AB上，这与点P在AC上矛盾
所以三角形PEC不能为等腰三角形