Question

初中Rt△知识

1. Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE,连接BE,M为BE中点,,求证MC=MD

3. 等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P为BC上任意一点,D为AB上的一点,AP=DP,DH⊥BC于H,求证2HP=BC

Answer 1

1，证明：分别取AB,AC的中点F,H，连接CF,,MF,DH,MH
因为角ACB=角ADE=90度
所以CF=AF=1/2AB
DH=AH=1/2AC
所以角FAC=角FCA
角HAD=角ADH
因为角BFC=角FAC+角FCA=2角BAC
角DHE=角DAH+角ADH=2角DAE
因为角BAC=角DAE
所以角BFC=角DHE
因为M是BE的中点
所以BM=EM
所以MF，MH分别是三角形ABC的中位线
所以MF=1/2AC
MF平行AC
MH=1/2AB
MH平行AB
所以角BFM=角BAC
角CHM=角BAC
所以角BFM=角CHM
因为角BFM=角BFC+角CFM
角CME=角DHE+角DHM
所以角CFM=角DHM
因为CF=HM （已证）
MF=DH （已证）
所以三角形CFM和三角形DHM全等（SAS)
所以CM=MD
2，证明：过点A作AF垂直BC
因为三角形ABC的等腰直角三角形
所以AF=1/2BC
角AFP=90度
角BAF=角B=45度
因为角PDA=角B+角BPD=45+角BPD
因为角BAP=角BAF+角PAF=45+角PAF
因为AP=DP
所以角PDA=角BAP
所以角BPD=角PAF
因为DH垂直BC
所以角DHP=90度
所以角DHP=角AFP=90度
因为DP=AP
所以直角三角形DHP和直角三角形CFA全等（AAS)
所以HP=AF=1/2BC
所以2HP=BC

追问

第一题：CF=AF=1/2AB 这没错。DH=AH=1/2AC，这是为什么？CD并没有连接，而且△ACD也不一定是Rt△，怎么就能说DH=AH=1/2AC呢？

第二题：对倒是对，不过倒数第三行应该是△DHP≌△PFA，而不是△CFA

追答

第一题。在三角形DAE中，因为角DAE=90度，H是AC的中点
所以DH=AH=1/2AC(直角三角形的中线性质）
第二题：对不起，打错了，应是三角形DHP和三角形PFA全等

追问

∠DAE＝90°？为什么？(还是∠ADE=90°？)再有，即便是∠DAE就等于90°了，那DH跟Rt△ADE有什么关系？H不是AC的中点么？这应该是在Rt△ACB中的事儿啊。
直角三角形中线性质是对的，但是是在哪个直角三角形里面？DH是哪个Rt△的中线？

追答

第一题：证明：分别取AB，AE的中点F,N，连接CF,FM,DH,MH
在三角形ADE中，因为角ADE=90度
H是AE的中点
所以DH=AH=1/2AE (直角三角形的中线性质）
所以角DAE=角ADH
因为角DHE=角DAE+角ADH
所以角DHE=2角DAE
在三角形ABC中，因为角ACB=90度
所以CF=AF=1/2AB(直角三角形的中线性质）
所以角BAC=角ACF
因为角BFC=角BAC+角ACF
所以角BFC=2角BAC
因为角BAC=角DAE
所以角BFC=角DHE
因为M是BE的中点
所以FM. HM分别是三角形ABE的中位线
所以FM平行AE
FM=1/2AE
HM平行AB
HM=1/2AB
所以FM=DH
CF=HM
因为FM平行AE
所以角BFM=角BFC+角CFM=角BAE
因为HM平行AB
所以角MHE=角DHE+角MHD=角BAE
所以角BFC+角CFM=角MHD+角DHE
所以角CFM=角MHD
因为CF=MH（已证）
FM=DH（已证）
所以三角形CFM和三角形MHD全等（SAS)
所以MC=MD