Question

已知正整数数列{an}的前n项和sn=1/2*(an+1/an),求{an}的通项公式

Answer 1

Sn=1/2(an+1/an),an>0
令x=1得：S1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1
注意到an=Sn-S(n-1),上式可化为：
Sn=1/2(Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1)))
即：2Sn=Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1) =1/( Sn-S(n-1))
Sn²-S(n-1)²=1
数列{ Sn²}是以1为首项，公差为1的等差数列。
∴Sn²=1+(n-1)×1=n, Sn=√n
从而n=1时 an=1
n≥2时 an=√n-√(n-1).
∴n∈N*时， an=√n-√(n-1).

Answer 2

Sn = (1/2)*(an+1/an)
∴a1=(1/2)*(a1+1/a1)，解得a1=1
n=2时 S2= a1+a2=1+a2=(1/2)*(a2+1/a2)，化简后，得
2+2a2=a2+1/a2
2+a2=1/a2 ,两边同时乘以a2 ，得 (a2)^2+2a2-1=0 (a2-1)^2=2 a2=√2-1
同理 n=3 时 S3= a1+a2+a3=1+√2-1+a3 =(1/2)*(a3+1/a3)，化简后，得
2√2+2a3=a3+1/a3，解得 a3=√3-√2
∴an =√n-√(n-1)
Sn=a1+a2+……+an=1+√2-+√3-√2+……+√n-√(n-1)=√n

di er zhong