Question

求球面x^2+y^2+z^2=4a^2含在柱面x^2+y^2=2ax(a>0)内部的面积A,这个题怎么确定θ和r的范围？

答案是由于x^2+y^2=2ax,由极坐标得r=2acosθ,但是我计算r=√2acosθ,但是答案在r=2acosθ的情况下为正确答案...r的范围到底怎么得来啊？不是(rcosθ)^2+(rsinθ)^2吗？那应该是r=√2acosθ啊,求高手求解！

Answer 1

求球面x²+y²+z²=4a²含在柱面x²+y²=2ax(a>0)内部的面积A,这个题怎么确定θ和r的范围？
解：积分域：x²+y²=2ax，即有(x-a)²+y²=a²，这是一个园心在(a，0)，半径r=a的园域。
z²=4a²-x²-y²；∂z/∂x=-x/z，∂z/∂y=-y/z；
A=[Dxy]∫∫√(1+x²/z²+y²/z²)dxdy=[Dxy]∫∫√[1+(x²+y²)/(4a²-x²-y²)]dxdy=[Dxy]∫∫√[4a²/(4a²-x²-y²)]dxdy
=[Dxy]2a∫∫√[1/(4a²-x²-y²)]dxdy
换成极坐标：x=ρcosθ，y=ρsinθ；积分域[Dρθ]：ρ²=2aρcosθ，即ρ=2acosθ；-π/2≦θ≦π/2；
A=2a∫∫[Dρθ][1/√(4a²-ρ²)]ρdρdθ=2a∫[-π/2，π/2]dθ∫[0，2acosθ](-1/2)d(4a²-ρ²)/[√(4a²-ρ²)]dρ
=2a∫[-π/2，π/2]dθ[-√(4a²-ρ²)]︱[0，2acosθ]=2a∫[-π/2，π/2][2a(1-sinθ)]dθ
=4a²(θ+cosθ)︱[-π/2，π/2]=4πa²

Answer 2

转化为极坐标
x=rcosθ y=rsinθ
所以x^2+y^2=2ax为
(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=2arcosθ
r^2=2arcosθ
r=2acosθ

过原点作x^2+y^2=2ax的切线，切线与x轴夹角为θ范围
所以θ∈[-π/2,π/2]

希望对你有帮助